前几天无意中在网上发现一个很有意思的概率统计问题-蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），又称三门问题，正确的解答让我一脸懵逼但又无法反驳，经过一番苦思冥想，终于搞清楚了来龙去脉，现在给大伙儿分享一下。
问题描述
设想你在参加一个电视游戏节目，有三扇背后放置奖品的门，其中一扇门后面是汽车，另外两扇门后面是山羊。你不知道每扇门后面是什么，但是主持人知道。选中一扇门后即可获得该门后的奖品。当你选择了一个门并还未打开时，主持人会打开另外一扇有山羊的门，并且询问你是坚持原来的选择还是选择另外一扇关闭的门。现在的问题是：你要不要更换另一扇门？如果换另一扇门是否会增加赢得汽车的机率？
两种观点
在换与不换的问题上，主要有以下两种对立的观点：
- 换不换无所谓，都有1/2的机率赢得汽车
- 当然要更换，不换赢得汽车的几率只有1/3，更换之后这个机率会增加到2/3
驳“换不换无所谓”论
乍看这个问题，我觉得很多人可能会像我一样觉得换不换无所谓，因为还未打开的一扇门后面是汽车，另外一扇门后面是山羊，二选其一，换与不换赢得汽车的机率是一样的。凭直觉来看好像是这样的，但仔细想想其实这种观点是站不住脚的，为什么呢？
理解观点一为什么错误的一个关键点是，对于已发生的事件来说，后来发生的事件是不可能影响它的机率的。当主持人打开有羊的那扇门之后，是不会影响你一开始选中汽车的概率的，主持人帮你排除了一扇没有汽车的门，相当于带给你额外的信息帮助你去判断，如果坚持最初的选择的话，其实是没有利用这种信息的，所以赢得汽车的概率仍然是1/3，而选择更换就可以充分利用这种信息增加赢得汽车的机率。
另外，切换门的选择与从剩下的两扇门之中随机选择是两种不同的情况，因为考虑第一种情况会使用先前的信息，也就是那个最初的选择，而第二种情况则不会。所以切换门的问题不能用简单的使用二选其一的思路去做判断。
如果你看到这里心中还是有些疑惑，那么这个例子可能比较容易理解一些：在公司年会抽奖环节，轮到你上台抽奖，这时抽奖箱有1000张奖券，但只有一张是特等奖，你抽了一张但还未打开，然后这时候上帝出现了，帮你排除了不是特定奖的998张，然后问你要不要将手中的奖券换成剩下的那张。你换不换？必须要换啊,傻子才不换嘞...不换得奖的概率还是原来的1/1000，换之后却能达到999/1000，虽然这个场景设定的样本数量跟蒙提霍尔问题有很大差距，但是背后的原理却有异曲同工之妙。
概率分析
假设开始选取了1号门，下面表格展示了奖品不同的布置情况与更换与否的结果
1号门 | 2号门 | 3号门 | 不换的结果 | 换的结果 |
汽车 | 山羊 | 山羊 | 赢得汽车 | 赢得山羊 |
山羊 | 汽车 | 山羊 | 赢得山羊 | 赢得汽车 |
山羊 | 山羊 | 汽车 | 赢得山羊 | 赢得汽车 |
可以发现不更换的赢得汽车的概率只有1/3，而更换之后赢得汽车的概率提高到2/3.
对于换的情况的概率求解有很多思考方式，这里主要列出两种供大家参考:
- 开始的时候选择车，换之后不可能赢得车；开始的时候选羊，换之后一定可以赢得车。换之后赢得车的概率即为开始选羊的概率即2/3。
- 开始你选择了一扇门，主持人拥有剩余两扇门，对你来说，你的门存在汽车的概率是1/3，主持人的两扇门存在汽车的概率是2/3，当主持人向你展示出一扇有山羊的门时，相当于主持人手中的另外一扇未打开的门存在汽车的概率独占2/3，所以换成主持人手中未打开的门赢得汽车的概率也就是2/3。
